图形的认识—直角三角形
希罗多德
其中长度单位一个斯塔迪昂大约为211-224米，如果希罗多德的记载是可靠的，那么古巴比伦城一面的长度大约为26千米，整个城市的占地面积大约为670平方千米，相当于现在的新加坡，这确实是一个相当大的都市。但是，希罗多德《历史》中的许多记载都是不可靠的，不像司马迁的《史记》那样经得起推敲。
我们已经说过，两河流域的人们把楔形文字刻写在泥版上，在已经发现的几十万块泥版中大约有300快是与数学有关的，其中包括一些数表，比如乘法表，倒数表，平方表和立方表。其中有一个被称为“普林顿322”的泥版，记录了15组勾股数。我们知道，即便是在今天，能够计算出15组勾股数也不是一件容易的事情，而这项工作却是在公元前1900-前1600年的古巴比伦时代完成的，实在是令人感叹。
现代科学技术已经相当发达了，但勾股定理在今天仍然有着广泛的应用。这个应用是基于下面的几何直观，如图（2）所示：
图（2)
我们把直角三角形的斜边看作二维空间的向量c→，那么向量c→向直线L（一维空间）上的投影恰为a→，也就是说，对于直线L上的任何点d，都有
||c→-a→||≤||c→-d→||
这就说明在低维空间L中最接近c的点为a，也就是说，如果要用低维空间的点来代替c，那么最合适的点就是a。我们可以把这种想法推广到一般，即用勾股定理的方法把高维空间的一个向量c→投影到低维空间L上去，这就为处理大规模数据，或者处理多维参数模型提供了强有力的数学工具。
我们看到，在日常生活和生产实践中，古埃及人，古巴比伦人以及古代中国人创造出了如此实用，如此丰富多彩的经验几何学，但是他们没有在一般的意义上对创造出来的知识进行归纳与抽象，因此也没有总结出几何学的一般概念和原理。事实上，对应图形进行高度抽象从而建立了几何学的是思维严谨，善于雄辩的古希腊人。
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